Förberedande kurs i matematik 2 Teori Övningar Innehåll: Derivata av en produkt och kvot Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln) Högre ordningars derivata Färdigheter: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: I princip kunna derivera vilken elementär funktion som helst.
Orka plugga - Planering och koncentration Orka plugga tipsar om hur du kan plugga effektivt. • Grundskola 7-9 • Pedagogiska frågor Tangentbordskontroller för spelaren ␣ Mellanslag, ↵ Retur: Spela / pausa programmet M Ljud på / av ↑ Pil upp: Höj ljudvolymen ↓ Pil ned: Sänk ljudvolymen → Pil höger: Hoppa framåt 5 sekunder ← Pil vänster: Hoppa bakåt 5 sekunder 0 - 9 Hoppa direkt till 0% - 90% av programmets längd C Välj språk för undertextning F Visa spelaren i helskärmsläge Esc Avsluta helskärmsläge Nästa avsnitt: Att bryta en vana Startar om: 12 sek video Planering · 3 min 15 sek Hur fungerar egentligen motivation? Vad är skillnaden på inre och yttre motivation? Påverkas kvaliteten på det jag gör beroende på vilken typ av motivation jag har? Förbättra dina betyg 2 min 22 sek · Här kommer några tips på hur man kan försöka höja sina betyg. Sätt smarta mål 2 min 48 sek · Tips på hur man kan sätta upp mål för att strukturera upp pluggandet. Plugga smart hemma 1 min 36 sek · Tips på hur man kan plugga på egen hand hemifrån.
Meniskskada När en menisk går sönder, tappar den skadade delen av menisken sin stötdämpande funktion. Ledbrosket, ledens glidyta, utsätts för större krafter när vi belastar benet. Den ökade belastningen kan leda till slitage av ledbrosket (artros) i knäleden. Orsaker Med åldern blir menisken mindre gummiartad-flexibel och istället mer stel och spröd. Blodkärlen i menisken minskar också med ålder. Det ökar risken för skador i framför allt den tunnare delen av menisken som inte har några blodkärl. Belastningarna på brosk och menisk är större i den inre ledkammaren. Därför är det mycket vanligare att den inre menisken (mediala menisken) skadas. Den vanligaste meniskskadan uppkommer genom naturligt åldrande av menisken. Symptom Smärtor: Vanliga symptom vid en meniskskada är huggsmärtor och molvärk på insidan av knät (inre menisken). Vid en skada på den yttre menisken sitter smärtorna på utsidan av knät. Knäböj och vridningar i knäleden är speciellt smärtsamma. Låsningar: När menisken lossnat och fastnat mitt i ledspalten kan det vara svårt att sträcka ut knät.
En funktion y = sin 4x kan betraktas som sammansatt av två funktioner, en yttre funktion och en inre funktion. (Till skillnad från funktionen y = sinx som inte betraktas som en sammansatt funktion utan kallas en elementär funktion). Om man i den sammansatta funktionen gör substitutionen u = 4x ( inre funktionen) så blir den den yttre funktionen y = sin u. I tabellen nedan finns exempel på flera sammansatta funktioner som vi ska bestämma derivatorna till. Sammansatt funktion Yttre funktion Inre y = sin 4x y = sin u u = 4x y = u³ u = cos x u = cos (x² + x + 1) I mängddiagrammet nedan kan man se hur man vid substitutionen i den sammansatta funktionen först avbildar x på u med funktionen u = g(x) och sedan avbildar u vidare på y med funktionen y = f(u). Detta är alltså samma sak som om man avbildar x direkt på y med den sammansatta funktionen y = f (g(x)). När vi ska ta fram derivatan till den sammansatta funktionen kan vi börja med att skriva om den på följande sätt: I detta uttryck kan vi sedan dividera och multiplicera med en lämplig differential (i det här fallet du) Vi har alltså fått följande regel som kallas kedjeregeln: det vill säga då man söker derivatan för den sammansatta funktionen kan man multiplicera derivatan för den yttre funktionen (yttre derivatan) med derivatan för den inre funktionen (inre derivatan).
Det kan vi också komma fram till genom att studera uttrycket för funktionens derivata. Tidigare har vi även kommit fram till att exponentialfunktionen med basen e på den mer allmänna formeln. $$y(x)={e}^{kx} $$ där k är en konstant, har derivatan $$y\, '(x)=k\cdot {e}^{kx}$$ I detta fall behöver dock inte funktionen vara strängt växande, då konstanten k ju får anta negativa värden. Om konstanten k antar ett negativt värde, så kommer funktionen att vara strängt avtagande - funktionens derivata kommer att vara negativ för alla värden på variabeln x.